Probabilités et Statistiques

Cours 2/3

Dimitri de Smet d'Olbecke

Probabilité conditionnelle

probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement a eu lieu.

$${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}} $$$$\Leftrightarrow $$$${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B). \mathbb{P}(B)=\mathbb {P} (A\cap B)} = \mathbb {P} (B\mid A). \mathbb{P}(A)$$$$\Leftrightarrow $$$$\mathbb {P} (B\mid A) = \frac{\mathbb {P} (A\mid B).\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A)} $$

(=Thorème de Bayes)

Specificité et sensibilité

  • La sensibilité d'un test mesure sa capacité à donner un résultat positif lorsqu'une hypothèse est vérifiée.
  • La spécificité d'un test mesure sa capacité à donner un résultat négatif lorsque l'hypothèse n'est pas vérifiée.
Malade Non malade
Test positif VP FP
Test négatif FN VN
  • Sensibilité : ${\displaystyle {\frac {\text{VP}}{{\text{VP}}+{\text{FN}}}}}$
  • Spécificité : ${\displaystyle {\frac {\text{VN}}{{\text{VN}}+{\text{FP}}}}}$

Exercices

  1. Un test de dépistage à une sensibilité de 98% et une spécificité de 90%. Une maladie est présente chez 75% de la population dans laquelle je me trouve. Si mon résultat est positif, quelle est la probabilité que je soit réellement malade?

  2. Des pièces mécaniques sortent de deux usines (A et B). L'usine A produit 100 pièces par jour, l'autre 300. Les taux de défaut sont, respectivement, de 2% et 3%. Si j'ai acheté un pièce défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'usine A?

  3. Deux tireurs à l'arc (A et B) touchent leur cible avec une probabilité de, respectivement 0.6 et 0.8. S'ils tirent en même temps, quelle est la probabilité qu'ils touchent tous les deux la cible? Quelle est la probabilité qu'il y ai au moins une flèche dans la cible? S'il y a une seule flèche dans la cible, quelle est la probabilité qu'elle vienne du tireur A?

  4. Dans une université, 10 % des étudiants sont d’origine chinoise. Parmi ceux-là, 90 % ont moins de 30 ans. Il y a 5 % d’étudiants chinois ayant moins de 30 ans et effectuant un doctorat. Vous rencontrez par hasard un étudiant qui dit être chinois et avoir moins de 30 ans. Quelle est votre chance de gagner en pariant qu’il effectue un doctorat ?

  5. Vérifiez vos réponses avec de simulations numériques

Espérance mathématique

La valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire.

  • Cas discret : $\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^\infty x_i\, p_i$
  • Cas continu : $\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \mathrm{d}x $

Exercices

  • On vous propose le jeu suivant : vous jetez deux dés, si les chiffres sont identiques, vous remportez 10 euros par points sur les deux dés (un double six rapporte 120 euros). La partie est payante, pour quel prix accepteriez vous de jouer?
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