1 . Introduction

Voici une expérience au champ investigant les effets de quatre fongicides (F1, F2, F3, F4) sur le rendement de la pomme de terre, en comparaison avec un contrôle (sans traitement). On soupçonne l’existence d’un gradient naturel entre les parcelles, orienté Nord-Sud. Les chercheurs ont donc décidé de réaliser 4 blocs orientés Est-Ouest.

2 . Chargez les données et observez à quoi elles ressemblent. De quel type de plan d’expérience s’agit-il ?

Le plan utilisé est un RCBD avec quatre blocs de cinq parcelles chacun, avec un total de 20 parcelles.

data <- read.table(file="POTATO.DAT", header = TRUE)
data$Block <- as.factor(data$Block)
data$Fungicide <- as.factor(data$Fungicide)
View(data)

3 . Maintenant que vous voyez à quoi ressemblent vos données, écrivez l’équation d’un modèle qui permettrait de prédire les effets des quatres fongicides malgré la présence du gradient naturel. Affichez le summary de votre modèle.

\(y_{ij} = \mu + b_i + \alpha_j + e_{ij}\)

Avec :
\(b_i\) l’effet du bloc i
\(\alpha_j\) l’effet du traitement j

## Approche Modele Mixte
mod2 <- lmer(Yield ~ Fungicide + (1|Block), data)
summary(mod2)
Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
lmerModLmerTest]
Formula: Yield ~ Fungicide + (1 | Block)
   Data: data

REML criterion at convergence: 172.9

Scaled residuals: 
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.9025 -0.5851  0.1172  0.4693  1.4478 

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev.
 Block    (Intercept)  302.5   17.39   
 Residual             3483.1   59.02   
Number of obs: 20, groups:  Block, 4

Fixed effects:
            Estimate Std. Error     df t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   404.50      30.76  14.63  13.149 1.68e-09 ***
FungicideF1   163.00      41.73  12.00   3.906 0.002088 ** 
FungicideF2   208.00      41.73  12.00   4.984 0.000318 ***
FungicideF3   224.50      41.73  12.00   5.380 0.000165 ***
FungicideF4   196.00      41.73  12.00   4.697 0.000517 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Correlation of Fixed Effects:
            (Intr) FngcF1 FngcF2 FngcF3
FungicideF1 -0.678                     
FungicideF2 -0.678  0.500              
FungicideF3 -0.678  0.500  0.500       
FungicideF4 -0.678  0.500  0.500  0.500
# test F sur le facteur fixe traitement
anova(mod2)
Type III Analysis of Variance Table with Satterthwaite's method
          Sum Sq Mean Sq NumDF DenDF F value   Pr(>F)   
Fungicide 133419   33355     4    12  9.5763 0.001026 **
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
# test LRT sur le facteur aleatoire block
ranova(mod2)
ANOVA-like table for random-effects: Single term deletions

Model:
Yield ~ Fungicide + (1 | Block)
            npar  logLik    AIC     LRT Df Pr(>Chisq)
<none>         7 -86.458 186.92                      
(1 | Block)    6 -86.542 185.08 0.16736  1     0.6825

4 . Sur base des résultats de votre modèle quels fongicides ont un effet significatif sur le rendement ?

La différence entre l’effet de chacun des fongicides et le témoin (pas de fongicide) est significative pour tous les fongicides. Ils ont donc tous un effet.

5 . Calculez le SED puis le LSD (\(\alpha\) = 0.05). La différence entre la moyenne des plantes avec le fongicide 1 par rapport aux plantes témoins est-elle plus petite, plus grande ou égale au LSD ? Est-ce que cela vous paraît logique étant donné votre réponse à la question précédante ?

Le SED vaut : 41.73168 et le LSD vaut 90.92553. La différence entre les moyennes des plantes avec le fongicide 1 et des plantes témoins (= 163.00) est plus grande que le LSD, cela signifie que celui-ci a un effet significatif par rapport au témoin. Cela est logique par rapport à la réponse à la question précédante.

s <- summary(mod2)$sigma              
LSD <-  qt(0.975,12)*sqrt(2*s^2/4) # NB : sqrt(2*s^2/4) = SED dans le summary