Les groupes de tresses sont une famille de groupes infinis apparaissant dans divers domaines des mathématiques. Ils admettent plusieurs définitions équivalentes, correspondant à différents points de vue : topologique, combinatoire ou algébrique. Les groupes tresses soudées sont une variante des groupes de tresses, qui peuvent également être envisagés sous ces différents points de vue.
Le but principal de ce cours est de présenter et de relier entre elles les différentes définitions de ces deux familles de groupes. Ce voyage mathématique sera l’occasion d’introduire rigoureusement certains objets fondamentaux de la topologie algébrique, tels que les groupes fondamentaux d’espaces topologiques, les groupes libres et leurs automorphismes, ainsi que les présentations de groupes. On évoquera également la notion d’espace de configurations, ainsi que celle de groupes de difféotopie (Mapping Class Groups). Ces concepts se verront aussitôt illustrés par des exemples tirés de la théorie des tresses et des tresses soudées.
Suivant ce que le temps permet, nous nous autoriserons quelques brèves digressions afin
d’évoquer certains des vastes paysages mathématiques à l’intersection desquels se trouvent
les groupes de tresses. En particulier, une petite introduction au coloriage des tresses par
des quandles et autres structures auto-distributives pourra servir de point d’orgue à ce
cours.
- Profesor: Darne Jacques