Il n'y a pas de questions idiotes, seulement des réponses idiotes. (D.S.)

 

Le cours est une introduction aux concepts élémentaires propres aux groupes, et aux techniques qui leur sont associées. Un groupe est fondamentalement ce qui formalise une symétrie, qui peut être de nature géométrique, combinatoire, substitutionnelle, abstraite, ... Pour être complètement comprise et exploitée, l'idée de symétrie nécessite de développer des outils un tant soit peu formels de théorie des groupes. Cela dit, les techniques formelles ne seront pas pour nous un objectif en soi ! Nous les introduirons en fonction de nos besoins, sans le faire nécessairement dans la plus grande rigueur ni abstraction ni généralité mathématique. L'accent sera placé sur une compréhension et une mise en oeuvre intuitive des outils utiles, avec des exemples concrets d'applications. Etant une introduction, ce cours ne sera donc, pour personne, le mot final en matière de théorie des groupes. Inévitablement, chacun rencontrera des besoins qui vont bien au-delà de ce que nous pourrons faire ici, que ce soit des questions spécifiques de groupes infinis, d'algèbres de Lie exceptionnelles, de fonctions spéciales, de représentations projectives, de groupes de dimension infinie, ou autres. On essaiera de placer le tremplin au bon endroit ...

Le cours comporte deux grandes parties, correspondant respectivement aux chapitres 2-8 et 9-12. Vous trouverez dans la section appropriée les notes de cours, sous forme de fichier pdf. D'autres documents pourront être ajoutés ultérieurement.

Dans les deux parties, la notion réellement centrale est celle de représentation. C'est elle qui répond à la question de savoir comment des quantités physiques, variables auxiliaires ou autres se transforment sous l'action du groupe de symétrie. Elle représente l'action du groupe sur des quantités concrètes, des observables physiques par exemple. La réponse à cette question peut être très simple, et parfois nettement moins évidente (en mécanique quantique, comment une fonction d'onde, un élément d'un espace de Hilbert, se transforme sous rotations ?).

La première partie est consacrée aux groupes finis, qui comportent un nombre fini d'opérations (de symétrie). Beaucoup de concepts et notions, par ailleurs complètement généraux, sont plus faciles à comprendre dans le cas des groupes finis. C'est le cas de la notion de représentation, et du problème majeur de la classification des représentations. Nous passerons en revue les théorèmes principaux, en les illustrant dans des cas particuliers (groupes de permutations).

Les groupes continus (de Lie), contenant des familles continues d'opérations, seront étudiés dans la deuxième partie. La structure d'un groupe de Lie, et ses représentations, peuvent être transférées à son algèbre, beaucoup plus facile à étudier. Les relations groupe-algèbre seront examinées dans le cas général, mais surtout illustrées dans le cas du groupe SU(2), et SO(3), son proche parent. Si le temps le permet, des éléments des représentations de SU(3) et des groupes linéaires généraux GLNon seront présentés.

 

Le cours proprement dit est complété par des séances d'exercices dirigés. C'est Bryan Debin (bryan.debin@uclouvain.be) qui les assurera. 

Chaque chapitre des notes se termine par une série plus ou moins longue d'exercices.
Les exercices sont absolument indispensables à une bonne compréhension de la matière !!!

Chaque séance d'exercices se concentrera sur quelques-uns des exercices des notes, ou d'autres à l'occasion. Ceux-ci vous seront annoncés à l'avance, pour que vous puissiez commencer à y réfléchir. L'expérience montre que les exercices effectués en séance ne suffisent pas et qu'il est nécessaire d'en faire davantage, et le plus possible !!

Vous êtes donc fortement encouragés à faire un maximum d'exercices. Si vous le souhaitez, vous pouvez nous rendre, à Bryan ou à moi-même, des solutions d'exercices, pour correction ou commentaires. Si vous rencontrez des problèmes, vous pouvez nous les poser directement, ou en parler entre vous, hors Moodle ou dans la partie "Forum" de cette plateforme. Rien n'est plus utile que de lire la question d'un(e) autre, et de réaliser qu'on se sait pas y répondre ... Vous trouverez un forum où vous pouvez adresser vos questions quelles qu'elles soient, sur le cours ou sur des exercices, faits en séance ou pas. Adrien ou moi-même interviendrons si nécessaire.

Finalement, on a beau les lire et les relire, il reste toujours des petites choses qu'on ne voit. Je vous serais reconnaissant de me signaler les typos, coquilles et autres négligences plus sérieuses que vous auriez repérés dans les notes, via la section "Erratum" ou en m'envoyant un mail.

Finalement, je vous souhaite un bon travail et surtout ... beaucoup d'amusement !

 

Philippe Ruelle